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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 0'p[EO}  
 iY0g,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ?]RQcQ=  
P/ i \W)  
　　1、三角函数本质： __0#YHb2  
uE5 9gx  
　　三角函数的本质来源于定义 |^Cn,Bf  
\Mq W+  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 L9 {*j  
WWP2:@w#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 N@~9v]a  
HeT^)UeV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： SF L  
KKyS-}!GX  
　　推导： XX9)VA_  
Km?Hzz-C  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 FQa$0S  
/dpdI XT'o  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) b]U-Jy/  
:"cqp==F  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) %12,Y^#a  
9Lp/)i*8  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Z'z7#pk  
NSotRKLt  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） X>B~J  
[.BWP;  
　　[1] ?LL\^i9R  
j7Cd>yj  
　　两角和公式 n@.|pI6mx  
dP[u`=c9y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB =iP9T;  
jj)v ypW  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  U^K%%n)3O  
Wd`J_~ZO9  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB VuN"A   
B`cUp?s  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB # E*ko,s  
$"3%FT$D  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) y6ljyGVA"  
4t1`Uov  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) O ORC.tL  
U*hI_nw*  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Cw,Ed_>Z  
]K0Sn  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ?aOoSr6~a  
@y8Rp?  
倍角公式 QJE P8EW  
6?= KH  
　　Sin2A=2SinA•CosA kKMn Z2"SL  
YiZeK&++  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 x`f k"fn,  
?n)'n/1[a@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） \Sh+=YGH  
0JG~PY$L  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ukJGCo  
uKq5q4_"  
三倍角公式 D&l fu,r  
Q3te/inI  
　　 lfJ;1/ga4  
%_w qQD  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) g^.LU6\s  
h8pk/  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5t#)K=  
U%X_?$gN  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) sB[/l8Bn  
Zx i'%@  
三倍角公式推导 [,=)`M9  
l~uH#,3  
　　sin3a w_4ci,^H&  
S7bAftS  
　　=sin(2a+a) r_W 6JH~  
d?djG9-  
　　=sin2acosa+cos2asina C9 bb-  
:;Q8pK=7r0  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ;'1-]*f  
!, Kt!A  
　　=3sina-4sin³a Sr$Vs j\  
yt8;+/  
　　cos3a "n4%T[dD  
q3z$o ~  
　　=cos(2a+a) qO~Eb% x  
f&cv9O=  
　　=cos2acosa-sin2asina gj]200D  
-]8/gm3  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _Qv:4=hf  
BL\&t%0*Q  
　　=4cos³a-3cosa Z!x.ZU~i7  
!Naj !C  
　　sin3a=3sina-4sin³a "^I4n#   
YVPAx0Z u  
　　=4sina(3/4-sin²a) d\o# #  
rv8{: j<c  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] u{*gF6J'g  
hXj)T#9C  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) { EPs @/C  
\E/1rd  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) WhGx{'u^LP  
Ii2 :8 @Q  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] BErVau/-Sw  
{7cj8na%  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) g!yYz  
-1O-=FwF:p  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2EH]3et  
x AdRx  
　　=4cosa(cos²a-3/4) GZs;K}1n  
plVHyg6  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] uu T@"Aj  
d=F(5  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 5ox=*b!A  
Jiw*duZP+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) JRS4dN3).  
.g&w=`-< ~  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} K'uMR}R  
!o%=8#)/o  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) HLRKfJ)00  
w(7rWH0T  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _|Fd(9Oh  
_Xlq*,j`2  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] MUyLb5 DU  
!$tF68a4  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &cOK5n L  
7b tG1A:  
　　上述两式相比可得 /o(sNe  
oWSr Wxi  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) zpDHK<  
:L3s2?  
半角公式 O)Q\!g 8  
Jao+'#r  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BE!:'@S>8r  
d`m.?+%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. /}|!~^ u  
j{2BEKwm  
和差化积 TJ)E0nC3a  
\(2C  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Yy, #:a"  
%D%zs^g  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R[{ S1%Z  
kDdpJHJ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0y=B9uN  
zK> 6"f?  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )vCT~wTF  
t3K_)y%V^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) :*]JRMM  
7Z2YoQ}(_?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) WD5 "6}dm  
9pAnY3  
积化和差 BnwtiA~  
_'O_NRY  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] pJ R:G875  
@?= ' T:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] pi uziH  
9 [Nb;[`  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] A%d|+  
T.M(N"#/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2H_C+k7/  
wcT?m*  
诱导公式 gNp[6/q|F  
n,n g8J@  
　　sin(-α) = -sinα Q~ 0sff};  
_<uw)'JE  
　　cos(-α) = cosα 8${XYl  
u-| k,  
　　sin(π/2-α) = cosα |7@RH)F?  
I\_UJ C@:  
　　cos(π/2-α) = sinα IEc7,_  
W[u<V%4N>x  
　　sin(π/2+α) = cosα g_ "-e  
?K5R+  
　　cos(π/2+α) = -sinα Aa4HA^  
(8 ?0A  
　　sin(π-α) = sinα ur@ a #c7o  
y__i,/F3]  
　　cos(π-α) = -cosα Y/Pp/z*  
7h62gjB  
　　sin(π+α) = -sinα FJ$Vd_8;"  
&:H ixtp?  
　　cos(π+α) = -cosα '\ v%TrSA  
tdL\lV$  
　　tanA= sinA/cosA t,w tl+G#b  
BRr ^fB5  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα :|~/ fR=  
)7h/-}Fb  
　　tan（π/2－α）＝cotα Q8.oH8++T  
7y65[Yi  
　　tan（π－α）＝－tanα &!Di$ :  
y1w@YGh  
　　tan（π＋α）＝tanα /0,`!q  
q%,-J9_  
万能公式 b r $#0"P  
%z[J"FQd  
　　 8oi, {j`  
JOfcC>  
其它公式 [I{Y&[&  
~z82/RE`  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8|UsqSs0  
.C%e0o&1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 !<oINa1ea  
[<6KG3$Pz  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _<ua<&  
24-SHAKZ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 0+ ?MF  
7' Ou/<  
　　对于任意非直角三角形,总有 :@P 1F=w%  
>t2+&h/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `,la a6@  
[ '0U[sec  
　　证: @c9N[SKa  
}-@%V(/b  
　　A+B=π-C v;^ :'en*  
=[[ycM:A  
　　tan(A+B)=tan(π-C) igF %J]6T  
%qYF%mm  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Hr+NabeE  
PyQ1dv7  
　　整理可得 )_e-x|Q*K  
OslQG5<Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GY5h ) a  
]wp08bj  
　　得证 DrL[`XN3  
PWsyn{W@  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 xf +l2WI$  
xAti!RS  
其他非重点三角函数 Vzm@Is#d  
5}NHl^  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^ ] Q|,F'  
A4NmtH R  
　　sec(a) = 1/cos(a) ^ nT${(1  
>$Wg/  
　　 bX8J=V F  
IrCJsbE8a  
双曲函数 0^iZ(o9  
A(sJ]=kI  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4oHJ%R  
hwW H'qwE  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 pz4&2t  
@(Q`52v&7'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) LX1RaQ@zn  
TfXW4w9?i  
　　公式一： yfSGx/i  
JA/y`gr  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }=R{ja  
40 0gN.  
　　sin（2kπ＋α）= sinα #Fdn``s!+  
}F3w_0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα zF3(b`  
vqO\Ik7c  
　　tan（kπ＋α）= tanα <Q`EFKL`  
D"-cew  
　　cot（kπ＋α）= cotα OB s R e=  
!u=>Zlio  
　　公式二： 9x= >.'  
?$6Tx|L5}  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ouD .Z  
~e>] 9?t  
　　sin（π＋α）= -sinα ]Dn-_/ O  
*VE/O  
　　cos（π＋α）= -cosα Mlox5Ku&  
]]'aEvpA  
　　tan（π＋α）= tanα j3 ?oI;  
.-kj0U  
　　cot（π＋α）= cotα Ta?y) =y  
*9V:$~5j  
　　公式三： !_XhbdVfm  
-`?kI<Oo  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： E=e[GHdm  
iNhEv   
　　sin（-α）= -sinα RF T$R->3  
zs&[3@mth  
　　cos（-α）= cosα euf!y&  
O*ascd_fo  
　　tan（-α）= -tanα { ~B|B [  
/N/{DX  
　　cot（-α）= -cotα JKq! 5uE  
+k])0!  
　　公式四： ~L3!G  
JK_HOoq  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4F\32cT+  
ReUtNpD  
　　sin（π-α）= sinα nS8eMD5v  
$sr&g~Un  
　　cos（π-α）= -cosα |wTZxT|j  
qIJPKy  
　　tan（π-α）= -tanα ksKf?" ;  
PD//lE}d  
　　cot（π-α）= -cotα ?c=bne5  
QQ \dz<Q  
　　公式五： pr-&j_>L  
/4(i^o?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ='zU]m{  
Xn *t %j@  
　　sin（2π-α）= -sinα O ]X!GJ!  
FQpD'n  
　　cos（2π-α）= cosα 9*qXb;{a  
cux1N3N-/  
　　tan（2π-α）= -tanα ,xHlpUu  
.i \4Y f4=  
　　cot（2π-α）= -cotα 7ih$"  
9Ys$T=F}  
　　公式六： b* E' "@  
b[%glEa  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :OH&) "._X  
)3Mr;XVQ  
　　sin（π/2+α）= cosα )1|JHI"  
M v/&D?W$  
　　cos（π/2+α）= -sinα +P[Lo 7N  
 9 )w  
　　tan（π/2+α）= -cotα 38kCZ&CC  
,rKkLS ][  
　　cot（π/2+α）= -tanα & F"yz0  
;dB)G"$>  
　　sin（π/2-α）= cosα 7]m(b*M o  
x/]P>uh  
　　cos（π/2-α）= sinα mCieeV)R[  
$O1 Cu|` K  
　　tan（π/2-α）= cotα ?C-_Aq0V0  
Y!`6`eND  
　　cot（π/2-α）= tanα -d4x 3>  
.xYZkR/  
　　sin（3π/2+α）= -cosα %Yv3(Td  
L%zWau3cb  
　　cos（3π/2+α）= sinα K- >-N$  
%*R2x,EV1  
　　tan（3π/2+α）= -cotα )? =gs]y  
,$l&JO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [4,DSLi{j  
8CQfg"?(F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα :POx/79!c  
pN1<XfJ_  
　　cos（3π/2-α）= -sinα o73  8  
Vh22qE  
　　tan（3π/2-α）= cotα w#d nFb  
Hw& >jk  
　　cot（3π/2-α）= tanα {ycW<C-  
k(0%<jQi4  
　　(以上k∈Z) 4z& jQM`!3  
=n&ehtjv  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 L2.L^l:_D  
Jj=|41$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5Qg@OZE7T  
~tH),rT+*>  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } fq?c|hD  
5UZ(wSY#J9  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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