日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 0%>9L(b  
rBuJ5cEJ.  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %x, `w  
8 #M#  
　　1、三角函数本质： #kD7#W  
"4'K6j<  
　　三角函数的本质来源于定义 *`~;=G  
@brv@=57u  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 RF(e.eE<  
eNvVh-N a  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 R\\'mN<  
|m r}P5H]3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： lB"rqHI@  
/d[ vs  
　　推导： R@z8o-eJfm  
}wa|^@j3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 `kO c=Pt  
6 CoF|W  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 5g8|0Mi<.  
K2)QLH'  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) L G2(@l  
P!e;2.  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ?_")W |d  
41S*dCQd  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） }[d`TBt  
t=,+^tZ  
　　[1] DG(txrc  
zc{ `.Nu  
　　两角和公式 qNF`/l  
"OG 5|Br9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p\\0C 6&  
x;=ARI.!  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  KS/z=><  
q4xys/$n  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB =bf@- o  
U%A>aa>:  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB `6.vLgpa  
C()1YEjZ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,N_$maYL  
D W2g,0  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) C93Rbl3  
|9V/f-1  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  #.wL`].V  
G(4e)yUI L  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) OHS OtP4#  
lC$$E(Z  
倍角公式 {3FR00@[]N  
;F q_{qp  
　　Sin2A=2SinA•CosA ,N{U{t0].1  
_]:L>  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 IO H5D  
L&q~F8m Au  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） (Qvf0b+&4  
dS]$bI D|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 0& j+.  
o3n[2(  
三倍角公式 5*|;xDac  
% WF>Z  
　　 +74R.m{<  
;*x mjb5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) a(XuoQ/0  
yS=%bP#f  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Z>P5,S&w  
XGOCr A+{  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ^h(mUkc&n  
gr|y95  
三倍角公式推导 MH5+Ue_  
{|( VAsEL  
　　sin3a [!G,tF D -  
'K2[y0yzG  
　　=sin(2a+a) }h?<,';zw  
u{EMG0*H  
　　=sin2acosa+cos2asina -  Sc  
X#!?]&oc/F  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +y >?dd3  
L>s2QuB  
　　=3sina-4sin³a eve\Vz+oX  
oS* 0_{  
　　cos3a W9X|W+NUu  
963+4  
　　=cos(2a+a) : ~HP  
g(]LxQv  
　　=cos2acosa-sin2asina <j2 /g-y  
_c;t   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 7j>gRIv ,  
E]4:e&  
　　=4cos³a-3cosa ENpKdA&O/  
f> 6]yGl  
　　sin3a=3sina-4sin³a 0K%sb7| +y  
';ScH=t  
　　=4sina(3/4-sin²a) GE!]/L  
+LQ$CWW5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] sa^'>He(3  
W p rh  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 2zK9;Q=  
h:=<9zUN  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) e(KB]P`  
$eDV,\44  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] E-h)l;/x  
W>L5M1<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;v^Mu0-I7#  
#[:Bdd h  
　　cos3a=4cos³a-3cosa zwF>m9dsd^  
TULvE(  
　　=4cosa(cos²a-3/4) M]!K*6/:  
AiN4s&v  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 4|7jzd;  
u@y^4EWf  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) )9+WQa kI  
J*[yUi.pM$  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) PvQCd.z{  
 a8;9{(s  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 9?-z0<2%W  
yQryp>\AV  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) CI@d2peH'  
F _B sO  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Bj\qRF Y  
zOgCio  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] k53U   
hI(aZ-( ^  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 4wLPwp<L]j  
YH/[iCo  
　　上述两式相比可得 q$!b>=6  
v8=T.0g  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) :nahQ?FX  
&lB9x)G?Z  
半角公式 <]ZfWs]9Z  
hixCT?/H  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); M.lg86#cN  
H x sDk;J(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. FAN(0Cv?  
x\|O?^CVN  
和差化积 {vm1^W>u  
cDzQnH}B  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Sp{j !PVF  
%^I)jj#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 18rsuWnU  
7\r>6 85OV  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0%qcI O\  
KhOAyao  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m& (>}qii  
|+@jVzO  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) uCGrAQY  
6ev\fE#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3` NSgU  
&`.aQ  
积化和差 88< n*  
{E\6L^qH>  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ? ,!Ikr0  
([6jCi  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]  :+^{zl  
Q7 W f^8  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] }qOrF8UV(  
Z8{h GXaP0  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] v\gE   
$SBf$0re  
诱导公式 Whgq=NDNs.  
*Q,K61@J_  
　　sin(-α) = -sinα ,8Fx2QRU+=  
^G5 b7|7  
　　cos(-α) = cosα KR:IZU  
i:lne&7D  
　　sin(π/2-α) = cosα kIlEQuH  
7B@ANhW3i{  
　　cos(π/2-α) = sinα (4:p n:  
O82h2TZ7  
　　sin(π/2+α) = cosα DHqOlp{>"v  
}{y!W  
　　cos(π/2+α) = -sinα QQ#u{xi4h  
UH RD0MgX)  
　　sin(π-α) = sinα 5NUiF|c  
1lD*hD6%  
　　cos(π-α) = -cosα Gn:.N  
q#Y\\v UO  
　　sin(π+α) = -sinα NNH{>  
kWH+/65zw  
　　cos(π+α) = -cosα "~4MEy,  
b]>W\[>~h  
　　tanA= sinA/cosA L&2/K2[@Yt  
iP;Hu]Dn3  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Rysnu_z  
?j %d2I1~  
　　tan（π/2－α）＝cotα ox,Cd!p  
d )%x(  
　　tan（π－α）＝－tanα 4Fr: ? p  
fadZ`  
　　tan（π＋α）＝tanα 5Lx/A/  
_L<9$(#  
万能公式 8m3TIZ^r  
q gqf%s  
　　 u@hB]!CE@  
|#^fu^  
其它公式 ,%T{4nDv  
CkXR FB  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 rKD%YblV|  
CjyYBkD37w  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 :DtyKI\=6  
>*QL<h-  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 1`eJ71:n  
[ fHz=r&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 m{d~^nr0  
xX&xd  
　　对于任意非直角三角形,总有 WS zJw[_  
y -/05y`g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC j`Gw9s  
c^7hri[  
　　证: / .OW  
W+m<gGQ,G[  
　　A+B=π-C z%0;97co  
d @@Gi53  
　　tan(A+B)=tan(π-C) TiGPE*"o  
mhU/<pI2  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 8mKt'GUg}  
&{*qcnk  
　　整理可得 cmea vN  
iaOuR(*&/I  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC oc1x(Z  
j|R0 qm  
　　得证 ULKb1G_Y6  
Z[+hUnaF0  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 O7+g%ahx  
)74 R08FU  
其他非重点三角函数 d*pN"   
.Nl1r<(E  
　　csc(a) = 1/sin(a) A+< ",pIc  
@^Wker&sd  
　　sec(a) = 1/cos(a) `F:kaQP:  
(.l&o=ES  
　　 "R<B`6#|  
[UnC!Ra$J  
双曲函数 kAe@50$  
aM,nq7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 zBoD%_L  
H&XY@m.`^  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 H._"x(]  
 lQ_hzL?b  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) M1|D/&  
<$L(Dz_M  
　　公式一： _jdJJ|M]  
?t:s{gG1f  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }m1KU_A  
{l (O$;w  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $Cb3&Y6I  
!2.r;<A9  
　　cos（2kπ＋α）= cosα <f4bYw.2f  
`#Uy S>n Q  
　　tan（kπ＋α）= tanα / dGf,H7  
QY?(SW  
　　cot（kπ＋α）= cotα lP}zPPa\  
<ry@D_]  
　　公式二： |M}% ytny  
[H {ng6[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： >] n/Ju9  
M;T8Ug$T"'  
　　sin（π＋α）= -sinα _ork$W  
NrYYdJpC_  
　　cos（π＋α）= -cosα =O 2Vy G  
hxa+T<v?w  
　　tan（π＋α）= tanα wNhO   
<Ds)%!vF  
　　cot（π＋α）= cotα Bw\ Tg2{r  
n'Oi E5av  
　　公式三： kkHxHA  
Z&2y4VTs2<  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： n1mfq0 p]  
*g% pPfgw  
　　sin（-α）= -sinα sb"pn^^  
$/ G ,2DI  
　　cos（-α）= cosα # ,@I"^  
}!Dfcb )\  
　　tan（-α）= -tanα SH6%-TR  
gniC_~yr  
　　cot（-α）= -cotα ~yK69Gf{}  
f7 @ge  
　　公式四： Gz^B3p%  
]BJ{pU1?$  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： N =YTZ.  
:j CS]  
　　sin（π-α）= sinα |M,YjG68R  
39SGqw~<  
　　cos（π-α）= -cosα (L_Ev~u  
` "|7a~l  
　　tan（π-α）= -tanα NXL(HAv+>  
!dG>aVqR  
　　cot（π-α）= -cotα hPq% fv~  
5?Sb7  
　　公式五： ZK"n:A-Xp  
lbcUMQ  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ]QuuSMtX  
<;Vlu1S\  
　　sin（2π-α）= -sinα Sb1to1  
CR #7M/HZv  
　　cos（2π-α）= cosα '!*6Gf{f_  
qMBww"R  
　　tan（2π-α）= -tanα ut Z+op  
bRh1zJQ}T  
　　cot（2π-α）= -cotα a(/R,kZ   
+<@sW+X2  
　　公式六： v6G^#  
Z m KiS  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： t"t 8t  
q1K[; Ys%  
　　sin（π/2+α）= cosα Z=yTE\>\  
e LL`]u0  
　　cos（π/2+α）= -sinα pS2Nn<V+  
v1>z|  
　　tan（π/2+α）= -cotα E;:t 'vQ  
)WpJ~F,O  
　　cot（π/2+α）= -tanα }W;:n: T8$  
]!|2.K_Q  
　　sin（π/2-α）= cosα Ud ]8<f  
H 7 bSH  
　　cos（π/2-α）= sinα )Ra_A4E^C  
#dJG3B9F  
　　tan（π/2-α）= cotα y U5%_6U  
?Ce2_0a?  
　　cot（π/2-α）= tanα @@N-n$>?I  
+s%|.~]'"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [mY.gwp  
!.m/r_54  
　　cos（3π/2+α）= sinα x~65h  
Y)}|Jg[aN  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Mc1UY^sU~>  
y(0*!eq*R  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >O"WQ9<PG  
w8CSO lvy  
　　sin（3π/2-α）= -cosα h|_8e <$  
&pk\V U4  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ~<t h$  
6ju'&]9X  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1!@^Lkjz  
8_vP4,e  
　　cot（3π/2-α）= tanα *%h8+[Cl  
&/UV^,FUd#  
　　(以上k∈Z) O"x/x6d{\  
{<bt0 $  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Q.[ `}Q1%  
wt(_{ @|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1{csd3r!9a  
&Cy8Ic?3  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } PpD`/?546f  
. sQ B*GR  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15391) |  收藏